两点间距离公式的神奇应用【高三党必读】

时间:2015-10-07 11:23 来源:原创 作者:邓佑和
摘要:在高考中,直接考查两点间距离公式已经不存在了。更多选择的考查方式是隐含在大题中考查公式的使用。特别喜欢在圆锥曲线问题中进行考查,这样倒成了常规的考查方式。

在高考中,直接考查两点间距离公式已经不存在了。更多选择的考查方式是隐含在大题中考查公式的使用。特别喜欢在圆锥曲线问题中进行考查,这样倒成了常规的考查方式。两点间距离公式的考查千变万化,但是在高三一轮复习中,依旧应当作为一个重要知识点进行复习,更要求学生理解其几何意义,这样备战高考,才会万无一失,才会有的放矢,取得更好的效果。

试题一:设实数x,y满足\(2x^{2}+y^{2}=8\),若\(S=\sqrt{x^{2}+y^{2}-4y+4}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-4x-4y+8}\),则S的最小值为__________.

【解析】:\(S=\sqrt{x^{2}+y^{2}-4y+4}+\sqrt{x^{2}+y^{2}-4x-4y+8}\)
\(=\sqrt{x^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( x-2 \right )^{2}+\left ( y-2 \right )^{2}}\)
其几何意义是直角坐标系中点(x,y)到(0,2),(2,2)两点距离之和,而(x,y)满足方程\(2x^{2}+y^{2}=8\),即S的最小值的几何意义为椭圆\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{8}=1\)上的点P(x,y)到(0,2),(2,2)两点距离之和的最小值。做简图如下图所示:

试题一解析示意图 试题一解析示意图

要使点P到(0,2),(2,2)两点距离之和最小,则点P在直线y=2上,此时\(P\left ( \sqrt{2},2 \right )\),故S的最小值为\(S=\sqrt{\left ( \sqrt{2} \right )^{2}+\left ( 2-2 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( \sqrt{2}-2 \right )^{2}+\left ( 2-2 \right )^{2}}=2\)

【点评】此题使用两点间距离公式的几何意义求解,展现了化繁为简的功效,起到了事半功倍的效果,同时,在解题时,也使用到两点间线段最短的基本定理。

在试题之中,考查两点间的距离公式放到了椭圆中,但在培优班的教学中,也遇到了以下的一些考查方式。

试题二:求\(y=\sqrt{x^{2}-2x+2}+\sqrt{x^{2}+2x+2}\)的最小值。

【解析】:\(y=\sqrt{x^{2}-2x+2}+\sqrt{x^{2}+2x+2}=\sqrt{\left ( x-1 \right )^{2}+\left ( 0-1 \right )^{2}}+\sqrt{\left ( x+1 \right )^{2}+\left ( 0-1 \right )^{2}}\),令P(x,0),A(1,1),B(-1,1),本题即转化为|PA|+|PB|的最小值问题,利用对称性及线段关系即可解决。如图:

试题二解析示意图 试题二解析示意图

如图:C(-1,-1)为B(-1,1)关于x轴的对称点,当P(x,0)在线段AC上,|PA|+|PC|最小,即|PA|+|PB|最小,故\(y=\sqrt{x^{2}-2x+2}+\sqrt{x^{2}+2x+2}\)的最小值,即\(\left | AC \right |=\sqrt{\left [ 1-\left ( -1 \right ) \right ]^{2}+\left [ 1-\left ( -1 \right ) \right ]^{2}}=2\sqrt{2}\)。

【点评】:一道看似复杂,无从下手的问题,应用两点间距离公式求解,变成了一道简单的题目,这也就是两点间距离公式的神奇之处。留下两个问题,仅供同学们与吴老师数学一起共同探讨。

问题1:求函数\(y=\sqrt{x^{2}-2x+17}-\sqrt{x^{2}-10x+26}\)的值域。

问题2:求函数\(y=\sqrt{x^{2}-2x+5}-\sqrt{x^{2}-4x+13}\)的值域。

Tags:解析几何(22)

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