已知函数f(x)=sin(x+7π/4)+cos(x-3π/4),x∈R

时间:2014-12-03 21:59 来源:未知 作者:小王老师
摘要:已知函数f(x)=sin(x+7π/4)+cos(x-3π/4),x∈R。(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和最小值;(Ⅱ)已知cos(β-α)=4/5,cos(β+α)=-4/5,0

精选题2:(四川理)已知函数 \(f(x)=a^{2}lnx-x^{2}+ax,a>0\)。
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期和最小值;
(Ⅱ)已知cos(β-α)=\( \frac{4}{5}\),cos(β+α)=-\( \frac{4}{5} \),0<α<β≤\( \frac{\pi }{2}\),求证\(\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{2}-2=0\) 。

本题考查三角函数的性质,同角三角函数的关系,两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力,函数与方程、化归与转化等数学思想。

解:(Ⅰ)\( f\left ( x \right )=sinxcos\frac{7\pi }{4}+cosxsin\left ( \frac{7\pi}{4} \right )+cosxcos\frac{3\pi}{4}+sinxsin\frac{3\pi}{4} \)
\(=\sqrt{2}sinx-\sqrt{2}cosx \)
\(=2sin\left ( x-\frac{\pi}{4} \right )\)
所以f(x)的最小正周期T=2π,最小值f(x)min=-2。

(Ⅱ)证明:由已知条件得:\(cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta =\frac{4}{5}\),\(cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta =-\frac{4}{5}\)
两式相加得:2cosαcosβ=0
又因为\(0<\alpha <\beta \leq \frac{\pi }{2}\)
所以有cosβ=0,则\(\beta =\frac{\pi }{2}\)
所以,\(\left [ f\left ( x \right ) \right ]^{2}-2=4sin^{2}\frac{\pi }{4}-2 =0\)

Tags:三角向量(18)三角函数(14)50题(27)

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