椭圆准线本质上的几何意义

时间:2013-11-25 15:07 来源:原创 作者:吴老师
摘要:第二套定义可以使得圆锥曲线形成统一的定义。但是据广州高二数学家教吴老师所了解,许多同学对这部分知道感到棘手,其中椭圆准线本质上的几何意义就是一个棘手的知识点,这里

解析几何,是用代数来描述几何性质,那么掌握椭圆就应该明白“椭圆代数式”其背后的几何意义,因为圆锥曲线椭圆属于解析几何。

如何才能比较顺畅的理解椭圆的准线呢?准线是椭圆重要的性质。

准线和离心率是相勾连在一起的,属于圆锥曲线第二套定义中的东西,第二套定义可以使得圆锥曲线形成统一的定义。但是据高中数学吴老师所了解,许多同学对这部分知道感到棘手,其中椭圆准线本质上的几何意义就是一个棘手的知识点,这里我们通过一个题目的推导来看一下椭圆准线本质上的几何意义。

【题目】:已知,焦点在x轴上的椭圆的标准方程x2/a2+y2/b2=1(a >b>0);
两焦点坐标F1(c, 0)、 F2(c, 0) ( c>0, 且a2 = b2 + c2 )
【探讨】:椭圆上是否存在到焦点距离最近或最远的点。若存在求出点的位置和距离的最大、最小值?

使用椭圆准线构造的椭圆图像图示:使用椭圆准线构造的椭圆图像

【解题】:假设点P(x0 ,y0 ) 为椭圆上任一点,显然 - a ≤x0 ≤a.由平面上两点的距离公式有:
|PF2|=PF两点的距离... ...[1]
又因点P在椭圆上,所以有:
x02/a2+y02/b2 =1,  即有y02=b2-b2x02/a2 ... ...[2]
代式[2]入式[1]得:
|PF2|=PF两点的距离推导1 =PF两点的距离推导2 =PF两点的距离推导3
=PF两点的距离推导4=PF两点的距离推导5=|cx0/a-a|=c/a|x0-a2/c|
=a-ex0 ... ...[3]
又有:- a ≤x0 ≤a.|x0-a2/c|≠0,所以有:
椭圆准线本质上的几何意义... ...[4]

到这里,吴老师提示一下,我们发现公式[3]就是我们的焦半径公式l,利用焦半径公式,可以对本题提出的极值探讨给出答案。而最主要的是,我们希望对椭圆准线本质上的几何意义有一个更好的理解。
我们来分析一下等式[4]的几何意义,等式[4]右边为常数e (椭圆离心率),等式左边是一个分式,我们来思考一下分子和分母分别代表的意义,分子的意义是比较明显的,那么分母事实上是椭圆上的点到直线,也就是我们的第二定义。

Tags:数学公式(12)解析几何(22)

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