已知函数f(x)=(x-k)^2e^x/k

时间:2014-12-15 13:55 来源:原创 作者:吴老师
摘要:已知函数f(x)=(x-k)^2e^x/k。(Ⅰ) 求f(x)的单调区间;(Ⅱ) 若对∨x∈(0,+∞),都有f(x)≤1/e,求k的取值范围。

精选题11:(北京理)已知函数\(f\left ( x \right )=\left ( x-k \right )^{2}e^{\frac{x}{k}}\)。
(Ⅰ) 求f(x)的单调区间;
(Ⅱ) 若对∨x∈(0,+∞),都有f(x)≤1/e,求k的取值范围。

解:(Ⅰ)\({f}'\left ( x \right )=\frac{1}{k}\left ( x^{2}-k^{2} \right )e^{\frac{x}{k}}\),令\({f}'\left ( x \right )= 0\),得 \(x=\pm k\)。
当k>0时,f(x)在(-∞,k)和(k,+∞)上递增,在(-k,k)上递减;
当k<0时,f(x)在(-∞,k)和(-k,+∞)上递增,在(k,-k)上递增;

(Ⅱ)当k>0时,\(f\left ( k+1 \right )=e^{\frac{k+1}{k}}> \frac{1}{e}\),所以不可能对\(\forall x\in \left ( 0,+\infty \right )\)都有f(x)≤1/e
当k<0时,由(Ⅰ)知道f(x)在(0,+∞)上的最大值为,所以要对\( \forall x\in \left ( 0,+\infty \right ) \)都有f(x)≤1/e。
只需\(\frac{4k^{2}}{e}\leq \frac{1}{e} \Rightarrow -\frac{1}{2}\leq k< 0\),故对\( \forall x\in \left ( 0,+\infty \right ) \)都有f(x)≤1/e。时,k的取值范围为 \(\left [-\frac{1}{2},0 \right )\)。

Tags:函数导数(24)50题(27)

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