设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax,a>0.

时间:2014-12-03 16:42 来源:原创 作者:吴老师
摘要:设函数f(x)=a^2lnx-x^2+ax,a>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)求所有实数a,使\( e-1\leq f\left ( x \right ) \leq e^{2} \)对\(x\in \left [ 1,e \right ]\)恒成立。注:e为自然对数的底数。

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精选题1:(浙江文)设函数\(f(x)=a^{2}lnx-x^{2}+ax,a>0\)。
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求所有实数a,使\( e-1\leq f\left ( x \right ) \leq e^{2} \)对\(x\in \left [ 1,e \right ]\)恒成立。
注:e为自然对数的底数。

解: (Ⅰ)因为\(f(x)=a^{2}lnx-x^{2}+ax\)。其中x>0,所以
\({f}'\left ( x \right )= \frac{a^{2}}{x}-2x+a=-\frac{\left ( x-a \right )\left ( 2x+a \right )}{x}\)
由于a>0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,+∞)

(Ⅱ)证明:由题意得,f(1)=a-1≥ e-1,即a≥e,
由(Ⅰ)知f(x)在[1,e]内单调递增,
要使\( e-1\leq f\left ( x \right ) \leq e^{2} \)对\(x\in \left [ 1,e \right ]\)恒成立,
只要\( \left\{\begin{matrix} f\left ( x \right )=a-1\geq e-1\\ f\left ( x \right )=a^{2}-e^{2}+ae\leq e^{2} \end{matrix}\right.\)
解得a=e

本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力。

Tags:函数导数(24)50题(27)

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