利用函数单调性求解函数的零点题目一道

时间:2014-07-13 22:48 来源:原创 作者:吴老师
摘要:函数的单调性是函数重要的性质,有时候是解决函数类问题的关键和突破口,吴老师认为:掌握函数的单调性、单调性的判定,是对函数概念掌握的基本要求。分享一道利用函数单调性

函数的单调性是函数重要的性质,有时候是解决函数类问题的关键和突破口,高中数学辅导吴老师认为:掌握函数的单调性、单调性的判定,是对函数概念掌握的基本要求。分享一道利用函数单调性求解函数的零点的题目。

题目:求函数f(x)=(1+x-x2/3+x3/3-x4/4+ ... -x2012/2012+x2013/2013)cos2x在[-3,3]上零点的个数。

分析:这是一道某市高考模拟题。很显然,要求解这道题目,无法使用常规解方程的方法确定f(x)在定义域上有多少个零点值。但是f(x)是两个括号的乘积,这是本题的突破口,顺着这个思路,首先,cos2x有四个零点,这个很显然,通过画图就可以看出来,为了规范表达,这里吴老师用数学软件做了个图,如图:

cos2x的图像
图示:cos2x的图像

接下来,就是考虑cos2x前面那一大串的多项式函数这个括号中零点的个数。即:

g(x)=1+x-x2/3+x3/3-x4/4+ ... -x2012/2012+x2013/2013

g(x)这个函数严格来说,我们无法通过画图直接确定其零点的个数,这时候,我们需要考虑到其单调性,希望通过单调性来大致绘制出函数的图形。

g'(x)=1-x+x2-x3/3+ ... +x2012=(1+x2013)/(1+x)

这里牵涉到数列的有关运算,就不展开来说了,于是乎,把x分为正的,负的两种情况进行讨论,可以很容易得到这个导函数一直为正的,且当x=-1时,导函数为正。那么得到g(x)为单调递增函数。

我们又可以验证得g(-1)<0,g(0)>0。那么g(x)在[3,3]有且只有一个零点,那么我们可以得到f(x)有5个零点。为了维持数学一贯的严谨性,我们需要验证g(x)的零点和cos2x的四个零点是否重合,鉴于这是一道高考题,不可能那么复杂,不过高中数学辅导吴老师做一下解释:

事实上,g(x)函数的背景是ln(1+x)的泰勒展开式,g(x)≈1+ln(1+x),然后把cos2x的四个零点代入g(x)检验,最终确定有5个零点。

Tags:函数导数(24)三角向量(18)50题(27)

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